संख्या सिद्धांत: अभाज्य संख्याओं का अनावरण और आधुनिक क्रिप्टोग्राफी में उनकी भूमिका

संख्या सिद्धांत, जिसे अक्सर "गणित की रानी" माना जाता है, शुद्ध गणित की एक शाखा है जो मुख्य रूप से पूर्णांकों और उनके गुणों के अध्ययन के लिए समर्पित है। जबकि यह सारगर्भित लग सकता है, संख्या सिद्धांत कई वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों का समर्थन करता है, विशेष रूप से क्रिप्टोग्राफी के क्षेत्र में। यह लेख संख्या सिद्धांत की मूलभूत अवधारणाओं, विशेष रूप से अभाज्य संख्याओं का पता लगाता है, और हमारी डिजिटल दुनिया को सुरक्षित करने में उनकी महत्वपूर्ण भूमिका को दर्शाता है।

संख्या सिद्धांत क्या है?

संख्या सिद्धांत में विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला शामिल है, जिनमें शामिल हैं:

• विभाज्यता और अभाज्य संख्याएँ
• सर्वांगसमताएँ और मॉड्यूलर अंकगणित
• डायोफैंटाइन समीकरण
• बीजगणितीय संख्या सिद्धांत
• विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत

इसके मूल में, संख्या सिद्धांत पूर्णांकों के गुणों और संबंधों की जाँच करता है। इसके सुरुचिपूर्ण प्रमाण और गणित और कंप्यूटर विज्ञान के अन्य क्षेत्रों से अप्रत्याशित संबंध इसे एक मनोरम विषय बनाते हैं।

अभाज्य संख्याएँ: पूर्णांकों के निर्माण खंड

एक अभाज्य संख्या 1 से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या है जिसका 1 और स्वयं के अलावा कोई धनात्मक विभाजक नहीं होता है। अभाज्य संख्याओं के उदाहरणों में 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, आदि शामिल हैं। जो संख्याएँ अभाज्य नहीं हैं उन्हें भाज्य संख्याएँ कहा जाता है।

अभाज्य संख्याएँ मौलिक हैं क्योंकि वे अन्य सभी पूर्णांकों के निर्माण खंड हैं। अंकगणित का मूलभूत प्रमेय कहता है कि 1 से बड़े प्रत्येक पूर्णांक को विशिष्ट रूप से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, कारकों के क्रम तक। उदाहरण के लिए:

12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

30 = 2 × 3 × 5

100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²

यह अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन वह आधारशिला है जिस पर कई क्रिप्टोग्राफिक एल्गोरिदम बनाए गए हैं।

अभाज्य संख्याएँ ढूँढना

अभाज्य संख्याओं की पहचान करना सदियों से गणितज्ञों को आकर्षित करता रहा है। अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए कई विधियाँ मौजूद हैं, जिनमें शामिल हैं:

• परीक्षण प्रभाग: किसी संख्या n को 2 से √n तक के सभी पूर्णांकों से विभाजित करें। यदि इनमें से कोई भी n को समान रूप से विभाजित नहीं करता है, तो n अभाज्य है। यह सरल है लेकिन बड़ी संख्याओं के लिए अक्षम है।
• एराटोस्थनीज की चलनी: एक निर्दिष्ट पूर्णांक तक की सभी अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए एक कुशल एल्गोरिदम। यह पहली अभाज्य संख्या, 2 से शुरू करके, प्रत्येक अभाज्य के गुणकों को बार-बार चिह्नित करके काम करता है।
• प्राथमिकता परीक्षण: अधिक परिष्कृत एल्गोरिदम जैसे मिलर-राबिन प्राथमिकता परीक्षण (एक संभाव्य परीक्षण) और AKS प्राथमिकता परीक्षण (एक नियतात्मक परीक्षण) का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि बहुत बड़ी संख्याएँ अभाज्य हैं या नहीं।

अभाज्य संख्याओं का वितरण

अभाज्य संख्याएँ पूर्णांकों के बीच समान रूप से वितरित नहीं होती हैं। जैसे-जैसे संख्याएँ बड़ी होती जाती हैं, अभाज्य संख्याओं का घनत्व कम होता जाता है। अभाज्य संख्या प्रमेय किसी दी गई संख्या x से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या के लिए एक एसिम्प्टोटिक अनुमान देता है, जिसे π(x) द्वारा दर्शाया गया है:

π(x) ≈ x / ln(x)

यह प्रमेय अभाज्य संख्या वितरण के दीर्घकालिक व्यवहार में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

क्रिप्टोग्राफी: अभाज्य संख्याओं के साथ जानकारी को सुरक्षित करना

क्रिप्टोग्राफी विरोधियों की उपस्थिति में सुरक्षित संचार के लिए तकनीकों का अभ्यास और अध्ययन है। आधुनिक क्रिप्टोग्राफी गणितीय अवधारणाओं पर बहुत अधिक निर्भर करती है, और कई एन्क्रिप्शन एल्गोरिदम में अभाज्य संख्याएँ एक केंद्रीय भूमिका निभाती हैं।

कई क्रिप्टोग्राफिक प्रणालियों की सुरक्षा कुछ संख्या-सैद्धांतिक समस्याओं की कम्प्यूटेशनल कठिनाई पर आधारित है, विशेष रूप से अभाज्य गुणनखंड समस्या और असतत लघुगणक समस्या। इन समस्याओं को "कठिन" माना जाता है क्योंकि शास्त्रीय कंप्यूटरों पर उन्हें हल करने के लिए कोई कुशल (बहुपद-समय) एल्गोरिदम ज्ञात नहीं हैं।

RSA: सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी की आधारशिला

RSA (रिवेस्ट-शमीर-एडलमैन) एल्गोरिदम सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोसिस्टम में से एक है। इसकी सुरक्षा बड़ी भाज्य संख्याओं को उनके अभाज्य कारकों में विभाजित करने की कठिनाई पर निर्भर करती है।

यहाँ RSA कैसे काम करता है इसका एक सरलीकृत अवलोकन दिया गया है:

1. कुंजी पीढ़ी:
   • दो अलग-अलग बड़ी अभाज्य संख्याएँ p और q चुनें।
   • n = p × q की गणना करें। यह मापांक है।
   • φ(n) = (p - 1) × (q - 1) की गणना करें, जहाँ φ यूलर का टॉटिएंट फ़ंक्शन है।
   • एक पूर्णांक e चुनें जैसे कि 1 < e < φ(n) और gcd(e, φ(n)) = 1 (e और φ(n) सहअभाज्य हैं)। e सार्वजनिक घातांक है।
   • d की गणना करें, जो φ(n) मॉडलो का e का मॉड्यूलर मल्टीप्लिकेटिव इनवर्स है। अर्थात्, d × e ≡ 1 (mod φ(n))। d निजी घातांक है।
   • सार्वजनिक कुंजी (n, e) है।
   • निजी कुंजी (n, d) है।
2. एन्क्रिप्शन:
   • संदेश m (एक पूर्णांक के रूप में दर्शाया गया) को एन्क्रिप्ट करने के लिए, c = m^e mod n की गणना करें, जहाँ c सिफरटेक्स्ट है।
3. डिक्रिप्शन:
   • सिफरटेक्स्ट c को डिक्रिप्ट करने के लिए, m = c^d mod n की गणना करें।

RSA की सुरक्षा इस तथ्य पर निर्भर करती है कि बड़ी संख्या n को उसके अभाज्य कारकों p और q में विभाजित करना कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन है, खासकर जब p और q काफी बड़े हों (सैकड़ों या हजारों अंक)। यदि कोई हमलावर n को विभाजित कर सकता है, तो वे आसानी से φ(n) की गणना कर सकते हैं और फिर निजी कुंजी d निर्धारित कर सकते हैं।

उदाहरण: मान लीजिए कि हम p = 61 और q = 53 चुनते हैं।

• n = 61 * 53 = 3233
• φ(n) = (61-1) * (53-1) = 60 * 52 = 3120
• आइए e = 17 (3120 के सहअभाज्य) चुनें।
• हमें d खोजने की आवश्यकता है जैसे कि (17 * d) mod 3120 = 1। विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके, हम पाते हैं कि d = 2753।
• सार्वजनिक कुंजी: (3233, 17)
• निजी कुंजी: (3233, 2753)

यदि हम संदेश m = 123 को एन्क्रिप्ट करना चाहते हैं, तो:

c = 123¹⁷ mod 3233 = 855

डिक्रिप्ट करने के लिए:

m = 855²⁷⁵³ mod 3233 = 123

यह उदाहरण चित्रण के लिए छोटी संख्याओं का उपयोग करता है। वास्तविक दुनिया के RSA कार्यान्वयन सुरक्षा सुनिश्चित करने के लिए बहुत बड़ी अभाज्य संख्याओं का उपयोग करते हैं।

डिफ़ी-हेलमैन की एक्सचेंज

डिफ़ी-हेलमैन की एक्सचेंज एक क्रिप्टोग्राफिक प्रोटोकॉल है जो दो पार्टियों को एक असुरक्षित चैनल पर एक साझा गुप्त कुंजी स्थापित करने की अनुमति देता है। इस साझा गुप्त का उपयोग तब सममित-कुंजी एल्गोरिदम का उपयोग करके बाद के संचार को एन्क्रिप्ट करने के लिए किया जा सकता है।

डिफ़ी-हेलमैन की सुरक्षा असतत लघुगणक समस्या की कठिनाई पर निर्भर करती है, जो अभाज्य संख्याओं और मॉड्यूलर अंकगणित से संबंधित है।

यहाँ एक सरलीकृत स्पष्टीकरण दिया गया है:

1. ऐलिस और बॉब एक बड़ी अभाज्य संख्या p और एक आधार g पर सहमत होते हैं (जहाँ g मॉडलो p का एक आदिम मूल है)। p और g सार्वजनिक हैं।
2. ऐलिस एक गुप्त पूर्णांक a चुनती है और A = g^a mod p की गणना करती है। ऐलिस A को बॉब को भेजती है।
3. बॉब एक गुप्त पूर्णांक b चुनता है और B = g^b mod p की गणना करता है। बॉब B को ऐलिस को भेजता है।
4. ऐलिस साझा गुप्त कुंजी s = B^a mod p की गणना करती है।
5. बॉब साझा गुप्त कुंजी s = A^b mod p की गणना करता है।

ऐलिस और बॉब दोनों अपनी गुप्त पूर्णांक a और b को सीधे आदान-प्रदान किए बिना एक ही साझा गुप्त कुंजी s पर पहुँचते हैं। एक ईव्सड्रॉपर जो p, g, A, और B जानता है, उसे a या b की गणना करने के लिए असतत लघुगणक समस्या को हल करने की आवश्यकता होगी, और इस प्रकार साझा गुप्त कुंजी s का निर्धारण करना होगा।

उदाहरण: मान लीजिए p = 23 और g = 5।

• ऐलिस a = 6 चुनती है। A = 5⁶ mod 23 = 8
• बॉब b = 15 चुनता है। B = 5¹⁵ mod 23 = 19
• ऐलिस बॉब को 8 भेजती है, और बॉब ऐलिस को 19 भेजता है।
• ऐलिस s = 19⁶ mod 23 = 2 की गणना करती है
• बॉब s = 8¹⁵ mod 23 = 2 की गणना करता है

साझा गुप्त 2 है। फिर से, वास्तविक दुनिया के कार्यान्वयन बहुत बड़ी अभाज्य संख्याओं का उपयोग करते हैं।

अण्डाकार वक्र क्रिप्टोग्राफी (ECC)

अण्डाकार वक्र क्रिप्टोग्राफी (ECC) परिमित क्षेत्रों पर अण्डाकार वक्रों की बीजगणितीय संरचना पर आधारित एक सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोसिस्टम है। ECC RSA की तुलना में छोटे कुंजी आकारों के साथ तुलनीय सुरक्षा प्रदान करता है, जिससे यह संसाधन-बाधित वातावरण, जैसे मोबाइल उपकरणों और एम्बेडेड सिस्टम के लिए उपयुक्त हो जाता है। ECC भी संख्या सिद्धांत और अण्डाकार वक्र असतत लघुगणक समस्या की कठिनाई पर निर्भर करता है।

ECC में, मॉड्यूलर घातांक का उपयोग करने के बजाय, क्रिप्टोग्राफिक संचालन अण्डाकार वक्र अंकगणित (बिंदु जोड़ और अदिश गुणन) पर आधारित होते हैं। ECC की सुरक्षा इस तथ्य पर निर्भर करती है कि अण्डाकार वक्र असतत लघुगणक समस्या को हल करना कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन है, जिसमें एक अण्डाकार वक्र पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाले अदिश गुणक को खोजना शामिल है।

ECC का व्यापक रूप से विभिन्न अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• डिजिटल हस्ताक्षर (जैसे, ECDSA)
• कुंजी विनिमय (जैसे, ECDH)
• एन्क्रिप्शन

क्रिप्टोग्राफी और अभाज्य संख्याओं का भविष्य

क्वांटम कंप्यूटरों का चल रहा विकास कई वर्तमान क्रिप्टोग्राफिक एल्गोरिदम के लिए एक महत्वपूर्ण खतरा है। शोर का एल्गोरिदम, एक क्वांटम एल्गोरिदम, बड़ी संख्याओं को कुशलतापूर्वक विभाजित कर सकता है और असतत लघुगणक समस्या को हल कर सकता है, जिससे RSA, डिफ़ी-हेलमैन और ECC प्रभावी रूप से टूट जाते हैं।

इस खतरे के जवाब में, शोधकर्ता सक्रिय रूप से पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी (PQC) विकसित कर रहे हैं, जिसमें क्रिप्टोग्राफिक एल्गोरिदम शामिल हैं जिनके बारे में माना जाता है कि वे शास्त्रीय और क्वांटम कंप्यूटर दोनों से हमलों के प्रतिरोधी हैं। कई PQC एल्गोरिदम RSA और ECC में उपयोग की जाने वाली समस्याओं की तुलना में विभिन्न गणितीय समस्याओं पर आधारित हैं, जैसे कि जाली-आधारित क्रिप्टोग्राफी, कोड-आधारित क्रिप्टोग्राफी, बहुभिन्नरूपी क्रिप्टोग्राफी और हैश-आधारित क्रिप्टोग्राफी।

क्वांटम कंप्यूटिंग के युग में भी, संख्या सिद्धांत, और विशेष रूप से अभाज्य संख्याएँ, क्रिप्टोग्राफी में भूमिका निभाती रहेंगी। उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्याओं का उपयोग जाली-आधारित क्रिप्टोग्राफी के लिए जाली के निर्माण में, या हैश-आधारित क्रिप्टोग्राफी के लिए हैश फ़ंक्शन के डिजाइन में किया जा सकता है।

वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग

चर्चा किए गए सिद्धांतों को विश्व स्तर पर लागू किया जाता है। यहाँ कुछ विविध उदाहरण दिए गए हैं:

• सुरक्षित ऑनलाइन लेनदेन: जब आप क्रेडिट कार्ड का उपयोग करके ऑनलाइन खरीदारी करते हैं, तो लेनदेन को आमतौर पर HTTPS का उपयोग करके सुरक्षित किया जाता है, जो TLS/SSL प्रोटोकॉल पर निर्भर करता है। ये प्रोटोकॉल अक्सर आपके ब्राउज़र और वेब सर्वर के बीच एक सुरक्षित कनेक्शन स्थापित करने के लिए RSA या ECC का उपयोग करते हैं, जिससे आपकी संवेदनशील जानकारी को सुनने से बचाया जाता है।
• डिजिटल हस्ताक्षर: डिजिटल हस्ताक्षरों का उपयोग डिजिटल दस्तावेजों की प्रामाणिकता और अखंडता को सत्यापित करने के लिए किया जाता है। एल्गोरिदम जैसे RSA और ECDSA (एलिप्टिक कर्व डिजिटल सिग्नेचर एल्गोरिदम) अभाज्य संख्याओं और मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग डिजिटल हस्ताक्षर बनाने के लिए करते हैं जिन्हें जाली बनाना मुश्किल होता है। इसका उपयोग सिंगापुर जैसे देशों में कानूनी रूप से बाध्यकारी अनुबंधों और यूरोपीय संघ में इलेक्ट्रॉनिक दस्तावेज़ सत्यापन के लिए किया जाता है।
• सुरक्षित संचार ऐप्स: सिग्नल और व्हाट्सएप जैसे कई मैसेजिंग ऐप्स आपकी बातचीत की गोपनीयता की रक्षा के लिए एंड-टू-एंड एन्क्रिप्शन का उपयोग करते हैं। ये ऐप अक्सर सुरक्षित संचार चैनल स्थापित करने के लिए डिफ़ी-हेलमैन की एक्सचेंज या ECC का उपयोग करते हैं।
• क्रिप्टोकरेंसी: बिटकॉइन जैसी क्रिप्टोकरेंसी लेनदेन को सुरक्षित करने और डिजिटल संपत्तियों के स्वामित्व को नियंत्रित करने के लिए अण्डाकार वक्र क्रिप्टोग्राफी (विशेष रूप से, secp256k1 वक्र के साथ ECDSA) का उपयोग करती हैं। बिटकॉइन की वैश्विक पहुंच और विकेंद्रीकरण इन सिद्धांतों के व्यापक अनुप्रयोग का उदाहरण हैं।
• वीपीएन (वर्चुअल प्राइवेट नेटवर्क): वीपीएन आपके डिवाइस और एक रिमोट सर्वर के बीच सुरक्षित टनल बनाने के लिए क्रिप्टोग्राफिक प्रोटोकॉल का उपयोग करते हैं, जिससे आपके इंटरनेट ट्रैफ़िक को इंटरसेप्ट करने से बचाया जाता है। वीपीएन आमतौर पर सममित एन्क्रिप्शन के लिए एईएस (उन्नत एन्क्रिप्शन मानक) जैसे एल्गोरिदम और कुंजी एक्सचेंज के लिए आरएसए या ईसीसी का उपयोग करते हैं। भारी सेंसरशिप वाले देशों में सुरक्षित इंटरनेट एक्सेस के लिए वीपीएन महत्वपूर्ण हैं।
• सुरक्षित शेल (एसएसएच): एसएसएच एक क्रिप्टोग्राफिक नेटवर्क प्रोटोकॉल है जो आपको दूरस्थ सर्वरों को सुरक्षित रूप से एक्सेस और प्रबंधित करने की अनुमति देता है। एसएसएच प्रमाणीकरण और कुंजी एक्सचेंज के लिए आरएसए और ईसीसी जैसे एल्गोरिदम का उपयोग करता है।

निष्कर्ष

संख्या सिद्धांत, अभाज्य संख्याओं पर अपने ध्यान के साथ, केवल एक अमूर्त गणितीय अनुशासन नहीं है; यह आधुनिक क्रिप्टोग्राफी का एक मूलभूत स्तंभ है। ऑनलाइन लेनदेन को सुरक्षित करने से लेकर संवेदनशील संचारों की सुरक्षा करने तक, अभाज्य संख्याएँ हमारी डिजिटल दुनिया की गोपनीयता, अखंडता और प्रामाणिकता सुनिश्चित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। जैसे-जैसे तकनीक का विकास जारी है, संख्या सिद्धांत और क्रिप्टोग्राफी के बीच अंतःक्रिया जानकारी की सुरक्षा और तेजी से जुड़े समाज में विश्वास बनाए रखने के लिए आवश्यक रहेगी। पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी में चल रहा अनुसंधान और विकास उभरते खतरों के सामने हमारे डिजिटल भविष्य को सुरक्षित करने की प्रतिबद्धता को दर्शाता है।

आगे सीखना

• पुस्तकें:
  • जी.एच. हार्डी और ई.एम. राइट द्वारा "संख्याओं के सिद्धांत का परिचय"
  • डेविड एम. बर्टन द्वारा "प्राथमिक संख्या सिद्धांत"
  • डगलस स्टिंसन और मौरा पैटरसन द्वारा "क्रिप्टोग्राफी थ्योरी एंड प्रैक्टिस"
• ऑनलाइन पाठ्यक्रम:
  • कौर्सरा: डैन बोनेह (स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय) द्वारा क्रिप्टोग्राफी I और II
  • एडएक्स: क्रिस्टोफ पार (रूहर विश्वविद्यालय बोचुम) द्वारा क्रिप्टोग्राफी का परिचय
• वेबसाइटें:
  • विकिपीडिया: संख्या सिद्धांत, अभाज्य संख्या, क्रिप्टोग्राफी, RSA
  • खान अकादमी: संख्या सिद्धांत